Fritt upplagt bjälklag med längden L = 4,5 m och last och lasteffekter enligt tabell 5.5, klimatklass 1.
Exempel på bjälklagsuppbyggnad.
Laster:
Egentyngd gk = 1,1 kN/m2
Nyttig last qk = 2,0 kN/m2
Bjälklaget består av en 5-skiktsplatta av KL-trä, med tjocklek 40 + 20 + 40 + 20 + 40 = 160 mm och med samtliga skikt av brädor i hållfasthetsklass C24. Klimatklass 1, och säkerhetsklass 3, (γd = 1).
För KL-trä med enbart brädor i hållfasthetsklass C24 gäller enligt tabell 3.7:
E0,x,0,05 = 7 400 MPa
E0,x,mean = 11 000 MPa
G9090,xlay,mean = 50 MPa
G090,xlay,mean = 690 MPa
Enligt tabell 3.6 gäller:
fm,k = 24 MPa
fv,k = 4 MPa
Med γM = 1,25 enligt tabell 3.2 och kmod = 0,8 enligt tabell 3.3 (nyttig last är huvudlast = medellång lastvaraktighet) blir dimensionerande hållfastheter:
\({f_{{\rm{m}},{\rm{d}}}} = \frac{{{k_{{\rm{mod}}}} \cdot {f_{{\rm{m}},{\rm{k}}}}}}{{{\gamma _{\rm{M}}}}} = \frac{{0,8 \cdot 24}}{{1,25}} = 15,36\;{\rm{MPa}}\)
\({f_{{\rm{v}},{\rm{d}}}} = \frac{{{k_{{\rm{mod}}}} \cdot {f_{{\rm{m}},{\rm{k}}}}}}{{{\gamma _{\rm{M}}}}} = \frac{{0,8 \cdot 4}}{{1,25}} = 2,56\;{\rm{MPa}}\)
Beräkningar:
Tvärsnittsstorheter för olika dimensioner för 5-skiktsplattor av KL-trä återges i tabell 3.12 samt i tabell 3.14 för KL-trä med enbart brädor i hållfasthetsklass C24. Tvärsnittsegenskaper kan också beräknas för en strimla bx = 1,0 m av plattan enligt tabell 5.6:
Dimensionerande lastkombination för vertikal last för en strimla bx = 1,0 m:
\({q_{\rm{d}}} = {\gamma _{\rm{G}}} \cdot {g_{\rm{k}}} + {\gamma _{\rm{Q}}} \cdot {q_{\rm{k}}} = 0,89 \cdot 1,35 \cdot 1,1 + 1,5 \cdot 2,0 = 4,32\;{\rm{kN/m}}\)
Moment
Dimensionerande moment för en fritt upplagd plattstrimla med längden L = 4,5 m:
\({M_{\rm{d}}} = \frac{{{q_{\rm{d}}} \cdot {L^2}}}{8} = \frac{{4,32 \cdot {{4,5}^2}}}{8} = 10,93{\rm{\;kNm}}\)
\({\sigma _{\rm{d}}} = \frac{{{M_{\rm{d}}}}}{{{W_{{\rm{x}},{\rm{net}}}}}} = \frac{{10,93 \cdot {{10}^3}}}{{3800}} = 2,88{\rm{\;MPa}}<{f_\rm {m,d}} = 15,36\;{\rm{MPa}}\)
Tvärkraft
Dimensionerande tvärkraft:
\({V_{\rm{d}}} = 0,5 \cdot {q_{\rm{d}}} \cdot L = 0,5 \cdot 4,32 \cdot 4,5 = 9,72\;{\rm{kN}}\)
\({\tau _{\rm{d}}} = \frac{{{V_{\rm{d}}} \cdot {S_{{\rm{x}},{\rm{net}}}}}}{{{I_{{\rm{x}},{\rm{net}}}} \cdot {b_{\rm{x}}}}} = \frac{{9,72 \cdot {{10}^3} \cdot 2600 \cdot {{10}^3}}}{{30400 \cdot {{10}^4} \cdot 1000}} = 0,083\;{\rm{MPa}}<{f_\rm {v,d}} = 2,56\;{\rm{MPa}}\)
\({\tau _\rm {Rv,d}} = \frac{{{S_\rm {Rx,net}} \cdot {V_\rm d}}}{{{I_\rm {x,net}} \cdot {b_\rm x}}} = \frac{{2400 \cdot {{10}^3} \cdot 9,72 \cdot {{10}^3}}}{{30400 \cdot {{10}^4} \cdot 1000}} = 0,076\;{\rm{MPa}}\;<\;{f_\rm {Rv,d}} = 0,45\;{\rm{MPa}}\)
Deformation
\(\frac{L}{{300}} = \frac{{4500}}{{300}} = 15\;{\rm{mm}}\)
\({w_{{\rm{g}},{\rm{k}}}} = \frac{{5 \cdot {g_{\rm{k}}} \cdot {L^4}}}{{384 \cdot {E_{{\rm{x}},{\rm{mean}}}} \cdot {I_{{\rm{x}},{\rm{ef}}}}}} = \frac{{5 \cdot 1,1 \cdot {{10}^3} \cdot {{4,5}^4}}}{{384 \cdot 11000 \cdot {{10}^6} \cdot 28\;125 \cdot {{10}^{ - 8}}}} = 0,00189\;{\rm{m}} = 1,89{\rm{\;mm}}\)
\({w_{{\rm{q}},{\rm{k}}}} = \frac{{5 \cdot {q_{\rm{k}}} \cdot {L^4}}}{{384 \cdot {E_{{\rm{x}},{\rm{mean}}}} \cdot {I_{{\rm{x}},{\rm{ef}}}}}} = \frac{{5 \cdot 2,0 \cdot {{10}^3} \cdot {{4,5}^4}}}{{384 \cdot 11000 \cdot {{10}^6} \cdot 28\;125 \cdot {{10}^{ - 8}}}} = 0,00345\;{\rm{m}} = 3,45{\rm{\;mm}}\)
Korttidsdeformation av karakteristisk last:
\({w_{{\rm{inst}}}} = {w_{{\rm{g}},{\rm{k}}}} + {w_{{\rm{q}},{\rm{k}}}} = 1,89 + 3,45 = 5,34\;{\rm{mm}}\;<15{\rm{\,mm}}\) OK
Slutlig deformation på grund av krypningens inverkan av kvasipermanent last:
\({k_{{\rm{def}}}} = 0,85\) för klimatklass 1, enligt tabell 3.4.
\({w_{{\rm{fin}}}} = {w_{{\rm{inst}}}} + {w_{{\rm{creep}}}}\)
\({w_{{\rm{fin}},{\rm{g}}}} = {w_{{\rm{g}},{\rm{k}}}} \cdot \left( {1 + {k_{{\rm{def}}}}} \right) = 1,89 \cdot 1,85 = 3,50\;{\rm{mm}}\)
\({w_{{\rm fin},{\rm q}}} = {w_{{\rm q},{\rm k}}} \cdot \left( {1 + {\Psi _2} \cdot {k_{{\rm{def}}}}} \right) = 3,45 \cdot \left( {1 + 0,3 \cdot 0,85} \right) = 3,45 \cdot 1,25 = 4,31\;{\rm{mm}}\)
\({w_{\rm fin}} = 3,50 + 4,31 = 7,81\;{\rm{mm}}\;<\;15\;{\rm{mm}}\) OK
Svängningar
Den lägsta egenfrekvensen, f1, för golvbjälklag beräknas:
\({f_1} = \frac{\pi }{{2{L^2}}}\sqrt {\frac{{{{\left( {EI} \right)}_{\rm{L}}}}}{m}} = \frac{\pi }{{2 \cdot {{4,5}^2}}}\sqrt {\frac{{11000 \cdot {{10}^6} \cdot 28\;125 \cdot {{10}^{ - 8}}}}{{110}}} = 13,0{\rm{\;Hz}}>8{\rm{\;Hz}}\) OK
Kontrollera styvheten genom att beräkna nedböjningen, w, för en punktlast, F = 1 kN och jämför med största tillåtna värdet a = 1,5 mm enligt EKS.
\(w = \frac{{F{L^3}}}{{48EI}} = \frac{{1 \cdot {{10}^3} \cdot {{4500}^3}}}{{48 \cdot 11000 \cdot 28\;125 \cdot {{10}^4}}} = 0,61{\rm{\;mm}}<1,5{\rm{\;mm}}\) OK
Kontrollera impulshastighetsresponsen v med b = 100 enligt EKS, samt med dämpningen 2,5 procent enligt tabell 5.3.
\(v \le {b^{\left( {{f_1}\zeta - 1} \right)}} = {100^{\left( {13,0 \cdot 0,025 - 1} \right)}} = 0,045\)
Bjälklag med bredden B = 4,5 m, fritt upplagt längs fyra sidor:
\({n_{40}} = {\left[ {\left( {{{\left( {\frac{{40}}{{{f_1}}}} \right)}^2} - 1} \right){{\left( {\frac{B}{L}} \right)}^4}\left( {\frac{{{{\left( {EI} \right)}_\rm L}}}{{{{\left( {EI} \right)}_\rm B}}}} \right)} \right]^{0,25}} = \)
\( = {\left[ {\left( {{{\left( {\frac{{40}}{{13,0}}} \right)}^2} - 1} \right) \cdot {{\left( {\frac{{4,5}}{{4,5}}} \right)}^4} \cdot \frac{{11000 \cdot {{10}^6} \cdot 30400 \cdot {{10}^{ - 8}}}}{{11000 \cdot {{10}^6} \cdot 3733 \cdot {{10}^{ - 8}}}}} \right]^{0,25}} = 2,88\)
där:
IL , IB är yttröghetsmoment för böjning kring y- respektive x-axeln enligt tabell 3.13.
\(v = \frac{{4\left( {0,4 + 0,6{n_{40}}} \right)}}{{mBL + 200}} = \frac{{4\left( {0,4 + 0,6 \cdot 2,88} \right)}}{{110 \cdot 4,5 \cdot 4,5 + 200}} = 0,004{\rm{\;}}<{\rm{\;}}0,045\) OK
Tabell 5.5 Laster och lastfaktorer.
| Last | kN/m2 | γg, γQ | Lastvaraktighet | kmod | Ψ0 | Ψ1 | Ψ2 |
| gk | 1,1 | 0,89 ⋅ 1,35 | Permanent | 0,6 | – | – | – |
| qk | 2,0 | 1,5 | Medellång | 0,8 | 0,70 | 0,50 | 0,30 |
Tabell 5.6 Egenskaper för 5-skikts symmetrisk platta av KL-trä, strimla med bredd bx = 1,0 m. Plattjocklek 160 mm (40/20/40/20/40).
| Egenskap | Beräkningsformel |
| Nettotvärsnittsarea (mm2) |
\({A_\rm {x,net}} = {b_\rm x} \cdot 3 \cdot {t_1}\) |
| Nettotröghetsmoment (mm4) |
\({I_{{\rm{x}},{\rm{net}}}} = {b_{\rm{x}}}\left( {\frac{{t_1^3}}{{12}} + {t_1}{a_1}^2 + \frac{{t_3^3}}{{12}} + {t_3}{a_3}^2 + \frac{{t_5^3}}{{12}} + {t_5}{a_5}^2} \right) =\\ = {b_{\rm{x}}}\left( {3 \cdot \frac{{t_1^3}}{{12}} + 2 \cdot {t_1}{a_1}^2} \right)\) |
| Nettoböjmotstånd (mm3) |
\({W_{{\mathop{\rm x}\nolimits} \rm ,net}} = \frac{{2 \cdot {I_{0,{\rm{net}}}}}}{{{h_{{\rm{KLT}}}}}}\) |
| Statiskt moment för rullskjuvning (mm3) |
\({S_{{\rm{R}},{\rm{x}},{\rm{net}}}} = {b_{\rm{x}}}{t_1}{a_1}\) |
| Statiskt moment för längsskjuvning (mm3) |
\({S_{{\rm{x}},{\rm{net}}}} = {b_{\rm{x}}}{t_1}{a_1} + {b_{\rm{x}}} \cdot \frac{{{t_3}^2}}{{4 \cdot 2}}\) |
| Effektivt tröghetsmoment (cm4) för spännvidd L = 4,5 m |
\({\gamma _1} = {\gamma _5} = \frac{1}{{1 + \frac{{{\pi ^2}{E_{{\rm{x}},1}}{t_1}}}{{{L^2}}}\;\frac{{{t_2}}}{{{G_{9090,2}}}}}}\) \({I_{{\rm{x}},{\rm{ef}}}} = {b_{\rm{x}}}\left( {\frac{{3 \cdot t_1^3}}{{12}} + 2{\gamma _1}{t_1}{a_1}^2} \right)\) |
| Egenskap | Applikation till exempel |
| Nettotvärsnittsarea (mm2) |
\({A_\rm {x,net}} = 1000 \cdot 3 \cdot 40 = 1200\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) |
| Nettotröghetsmoment (mm4) |
\({I_{{\rm{x}},{\rm{net}}}} = 1000\left( {3 \cdot \frac{{{{40}^3}}}{{12}} + 2 \cdot 40 \cdot {{60}^2}} \right) = 30400 \cdot {10^4}{\rm{\;m}}{{\rm{m}}^4}\) |
| Nettoböjmotstånd (mm3) |
\({W_\rm {x,net}} = \frac{{2 \cdot 30400 \cdot {{10}^4}}}{{160}} = 3800 \cdot {10^3}\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^3}\) |
| Statiskt moment för rullskjuvning (mm3) |
\({S_{{\rm{R}},{\rm{x}},{\rm{net}}}} = 1000 \cdot 40 \cdot 60 = 2400 \cdot {10^3}\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^3}\) |
| Statiskt moment för längsskjuvning (mm3) |
\({S_{{\rm{x}},{\rm{net}}}} = 1000 \cdot 40 \cdot 60 + 1000 \cdot \frac{{{{40}^2}}}{{4 \cdot 2}} = 2600 \cdot {10^3}\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^3}\) |
| Effektivt tröghetsmoment (cm4) för spännvidd L = 4,5 m |
\({\gamma _1} = {\gamma _5} = \frac{1}{{1 + \frac{{{\pi ^2}11{\rm{\;}}000 \cdot 40}}{{{{4500}^2}}} \cdot \frac{{20}}{{50}}}} = 0,921\) \({I_{{\rm{x}},{\rm{ef}}}} = 1000 \cdot \left( {\frac{{3 \cdot {{40}^3}}}{{12}} + 2 \cdot 0,921 \cdot 40 \cdot {{60}^2}} \right) = 28\;125 \cdot {10^4}\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^4}\) |
