Dimensionering i bruksgränstillstånd omfattar vanligtvis kontroll av nedböjning, svikt och vibrationer för bjälklagsplattor. I vissa fall kan det även bli aktuellt med kontroll av långtidsdeformationer.
Vid bestämning av KL-träplattans egenskaper baserade på egenskaperna hos ingående brädor finns det i princip fyra olika teorier:
- Timoshenkos metod
- Gamma-metoden
- Kompositmetoden
- SAV eller Kreuzingers teori.
Det är framför allt vid beräkning av nedböjningar i bruksgränstillståndet som det uppstår skillnader mellan metoderna. Samtliga teorier ger trots allt i slutändan relativt likartade resultat. Nedan görs en kort jämförelse mellan de olika alternativen med avseende på deformationsberäkningar.
Nedböjning
Nedböjningsberäkning enligt Timoshenko
En fritt upplagd bjälklagsplatta av KL-trä kan i de flesta fall betraktas som enkelspänd fritt upplagd plattstrimla mellan två eller flera stöd. Bjälklaget utsätts för karakteristisk permanent last och karakteristisk variabel last som i de flesta fall betraktas som medellång lastvaraktighet.
Nedböjningen på grund av moment och tvärkraft kan skrivas enligt ekvation 3.72, med \(\overline M \) och \(\overline V \) som vektorer för krafterna enligt principen om virtuellt arbete:
3.72 \(w = {\rm{\;}}\mathop \smallint \nolimits^ \frac{{M\bar M}}{{E{I_{{\rm{net}}}}}}{\rm{d}}x + \mathop \smallint \nolimits^ \frac{{V\bar V}}{{G{A_\rm s}}}{\rm{d}}x\)
För en fritt upplagd bjälklagsstrimla med fri spännvidd L och utbredd last q, kan nedböjningen i fältmitt skrivas enligt ekvation 3.73:
3.73 \({w_\rm {mitt}} = \frac{{5 \cdot q{L^4}}}{{384 \cdot E{I_{{\mathop{\rm net}\nolimits} }}}} + \frac{{q{L^2}}}{{8 \cdot G{A_\rm s}}}\)
För en fritt upplagd bjälklagsstrimla med fri spännvidd L och punktlast P, kan nedböjningen i fältmitt skrivas enligt ekvation 3.74:
3.74 \({w_\rm {mitt}} = \frac{{P{L^3}}}{{48 \cdot E{I_\rm {net}}}} + \frac{{P \cdot L}}{{4 \cdot G{A_{\mathop{\rm s}\nolimits} }}}\)
där:
3.75 \(E{I_\rm {net}} = \sum {{E_\rm i}{I_\rm i} + {E_\rm i}{A_\rm i}{\rm a_i}^2} \)
och:
3.76 \(G{A_\rm s} = \kappa \mathop \sum \nolimits^ {G_\rm i}{b_\rm i}{t_\rm i}\)
där κ är en skjuvkorrektionsfaktor, se avsnitt 3.3.1 och tabell 3.10.
Nedböjningsberäkning enligt Gamma-metoden
Gamma-metoden är den metod som bland annat finns beskriven i Eurokod 5 och beräkning av nedböjningen för en balk enligt Euler-Bernoulli kan skrivas enligt ekvation 3.77:
3.77 \(w = {\rm{\;}}\mathop \smallint \nolimits^ \frac{{M\bar M}}{{E{I_\rm {ef}}}}{\rm{d}}x\)
För en fritt upplagd bjälklagsstrimla med fri spännvidd L och utbredd last q, kan nedböjningen i fältmitt skrivas enligt ekvation 3.78:
3.78 \({w_{{\mathop{\rm mitt}\nolimits} }} = \frac{{5 \cdot q{L^4}}}{{384 \cdot E{I_\rm {ef}}}}\)
där EIef kan beräknas enligt avsnitt 3.3.4.
Gamma-metoden är en relativt känd och använd metod då den finns presenterad i Eurokod 5, annex B. Den är enkel att implementera manuellt i enklare beräkningsprogram. Metoden kan vara besvärlig att använda för plattor över flera stöd och om antalet brädskikt är större än fem. Stora skillnader i noggrannhet kan förekomma.
Nedböjningsberäkning enligt Kompositmetoden
Nedböjningsberäkning för en balk enligt Euler-Bernoulli kan skrivas enligt ekvation 3.79:
3.79 \(w = {\rm{\;}}\mathop \smallint \nolimits^ \frac{{M\bar M}}{{EI \cdot {k_1}}}{\rm{d}}x\)
För en fritt upplagd bjälklagsstrimla med fri spännvidd L och utbredd last q, kan nedböjningen i fältmitt skrivas enligt ekvation 3.80:
3.80 \({w_\rm {mitt}} = \frac{{5 \cdot q{L^4}}}{{384 \cdot EI \cdot {k_1}}}\)
För en fritt upplagd bjälklagsstrimla med fri spännvidd L och punktlast P, kan nedböjningen i fältmitt skrivas enligt ekvation 3.81:
3.81 \({w_\rm {mitt}} = \frac{{P{L^3}}}{{48 \cdot EI \cdot {k_1}}}\)
med k1 enligt följande:
•för platta på två stöd i huvudbärriktningen (x-led):
3.82 \({k_1} = 1 - \left( {1 - \frac{{{E_{90}}}}{{{E_0}}}} \right) \cdot \frac{{a_{{\rm{m}} - 2}^3 - a_{{\rm{m}} - 4}^3 + \ldots \; \pm a_1^3\;}}{{a_{\rm{m}}^3}}\)
•för platta på två stöd i sekundär bärriktning (y-led):
3.83 \({k_2} = \frac{{{E_{90}}}}{{{E_0}}} - \left( {1 - \frac{{{E_{90}}}}{{{E_0}}}} \right) \cdot \frac{{a_{{\rm{m}} - 2}^3 - a_{{\rm{m}} - 4}^3 + \ldots \; \pm a_1^3\;}}{{a_{\rm{m}}^3}}\)
För en 5-skiktsplatta av KL-trä gäller att am är hela plattans tjocklek, am4 är mittskiktets tjocklek och am2 är hela plattans tjocklek minus ytterskiktens tjocklek.
Metoden är välkänd och används vid dimensionering av plywoodkonstruktioner. Den är enkel att implementera manuellt i enklare beräkningsprogram. Metoden tar inte hänsyn till skjuvdeformationer och passar bäst för konstruktioner med större spännvidder, L > 30 ∙ KL-träplattans tjocklek.
Nedböjningsberäkning enligt SAV eller Kreuzingers teori
Metoden har stora likheter med Timoshenko-metoden. Den tar hänsyn till skjuvdeformationer men är beroende av skjuvkorrektionskoefficient, k.
Den generella beräkningsformeln för nedböjning av en balk kan skrivas enligt ekvation 3.84:
3.84 \(w = {\rm{\;}}\mathop \smallint \nolimits^ \frac{{M\bar M}}{{E{I_{{\rm{net}}}}}}{\rm{d}}x + \mathop \smallint \nolimits^ \frac{{V\bar V \cdot k}}{{G{A_{{\rm{ef}}}}}}{\rm{d}}x\)
För en fritt upplagd bjälklagsstrimla med fri spännvidd L och utbredd last q, kan nedböjningen i fältmitt skrivas enligt ekvation 3.85:
3.85 \({w_\rm {mitt}} = \frac{{5 \cdot q{\rm{L}}}}{{384E{I_{{\rm{net}}}}}} + \frac{{q{L^2} \cdot k}}{{8 \cdot G{A_{{\rm{ef}}}}}}\)
För en fritt upplagd bjälklagsstrimla med fri spännvidd L och punktlast P, kan nedböjningen i fältmitt skrivas enligt ekvation 3.86:
3.86 \({w_{{\rm{mitt}}}} = \frac{{P{L^3}}}{{48E{I_{{\rm{net}}}}}} + \frac{{PLk}}{{4 \cdot G{A_{{\rm{ef}}}}}}\)
med följande:
3.87 \(E{I_{{\rm{net}}}} = \mathop \sum \nolimits^ {E_{\rm{i}}}{I_{\rm{i}}} + {E_{\rm{i}}}{A_{\rm{i}}}{{\rm{a}}_{\rm{i}}}^2\)
3.88 \(G{A_{{\rm{ef}}}} = \frac{{b \cdot {a^2}}}{{\frac{{{h_1}}}{{2{G_1}}} + \mathop \sum \nolimits_{i = 2}^{n - 1} \frac{{{h_i}}}{{{G_i}}} + \frac{{{h_{\rm{n}}}}}{{2{G_{\rm{n}}}}}}}\)
med:
\(a = {h_{{\rm{total}}}} - \frac{{{h_1}}}{2} - \frac{{{h_{\rm{n}}}}}{2}\)
För rektangulära tvärsnitt sätts k = 1,2.
Metoden är noggrann för olika belastningsfall och geometriska system och är lätt att använda även för KL-träplattor med många skikt och passar bäst för konstruktioner med spännvidder L > 8 ∙ KL-träplattans tjocklek.
