Bild 1. och Bild 2.
1. Förutsättningar
l = 2700 mm
Hållfasthetsklass: C14
Klimatklass: 2
Lastvaraktighetsklass: Medellång
Säkerhetsklass: 2 (γd=0,91)
Egentyngd gk = 0,3 kN/m2
Snölast: Sk = 2,0 kN/m2
µ1 = 0,8 (sadeltak, taklutning 15°)
Räfflad trådspik 75-3,1 mm
Belastad area: 2,88 m2 (1,2 x 2,4m)
Stolpe 2 x (45x95 mm2)
γm = 1,30
fc,0,k = 16 MPa
E0,mean = 7000 MPa
ρm = 350 kg/m3
2. Preliminär dimensionering
Lastvärden
Dimensionerande lasteffekt
Fc,0,d = (γd · 0,89 · 1,35 · gk + γd · 1,5 · µ1 · Sk) · A
Fc,0,d = (0,91 · 0,89 · 1,35 · 0,3 + 0,91 · 1,5 · 0,8 · 2,0) · 2,88 = 7,23 kN
\(\sigma_{c,0,d} = \frac{F_{c,0,d}}{A_{tot}} = \frac{7,23 \cdot 10^3}{90 \cdot 95} = 0,84 \: \text{MPa}\)
Inverkan av transversallast försummas. Stolpen utformas som en spikad stolpe. Antag att den byggs upp av två virkesdelar med tvärsnittsmått 45 mm x 95 mm. Antag att stolpen kan beaktas som en pelare ledad i båda ändar.
Utknäckning i z-led ger den lägsta bärförmågan. Om virkesdelarna kunde samverka fullständigt kan slankhetstalet tecknas:
\(\lambda_z = \frac{l \cdot \sqrt{12}}{h} = \frac{2700 \cdot \sqrt{12}}{90} = 104\)
Bärförmågan begränsas av att delarna samverkar ofullständigt. I den preliminära beräkningen beaktas detta genom att slankhetstalet λz omräknas till ett effektivt slankhetstal med hjälp av omräkningsfaktorn k.
k = 1.5
λz,ef = k · λz = 1,5 · 104 = 156
Vilket ger:
\(\lambda_{rel,z} = \frac{\lambda_{z,ef}}{\pi} \cdot \sqrt{\frac{f_{c,0,k}}{E_{0,05}}} = \frac{156}{\pi} \cdot \sqrt{\frac{16}{4700}} = 2,90\)
\(\beta_c=0,2\) för massivt trä ger
\(k_z = 0,5 \cdot \left(1 + \beta_c \cdot (\lambda_{rel,z} - 0,3)+{\lambda_{rel,z}}^2 \right) = 0,5\cdot\left(1+0,2\cdot(2,90-0,3)+2,90^2\right) = 4,96 \)
Knäckfaktor
\(k_{c,z}=\frac{1}{k_z + \sqrt{{k_z}^2-{\lambda_{rel,z}}^2}} = \frac{1}{4,96 + \sqrt{{4,96}^2-{2,90}^2}} =0,111\)
Dimensionerande värde på tryckhållfasthet blir med
kmod = 0,80 (C14, lastvaraktighetsklass medellång, klimatklass 2)
fc,0,k = 16 MPa (C14)
γm = 1,3
\(f_{c,0,d} = \frac{k_{mod} \cdot f_{c,0,k}}{\gamma_m} = \frac{0,80 \cdot 16}{1,3}=9,85 \: \text{MPa}\)
Med hänsyn till knäckning: 0,111 · 9,85 = 1,09 MPa > 0,84 MPa
Stolpen är OK!
I denna preliminära dimensionering tillämpades en approximativ metod, för att beräkna bärförmågan, med hänsyn till ofullständig samverkan.
3. Kontroll av brottgränstillståndet
Bärförmåga - normalkraft
\(\lambda_{ef}= l \cdot \sqrt{\frac{A_{tot}}{I_{ef}}}\)
Ief = Effektivt tröghetsmoment med hänsyn tagen till ofullständig samverkan
Atot = Pelarens smmanlagda tvärsnittsarea
\(I_{ef}=\frac{(EI)_{ef}}{E_{mean}}\)
\((EI)_{ef} = \sum_{i=1}^3\left(E_iI_i + {\gamma_iE_iA_ia_i}^2 \right)\)
med
\(E_i = E_{0,mean}\) ,
\(A_i = b_i \cdot h_i\) ,
\(I_i = b_i \cdot \frac{{h_i}^3}{12}\),
\(\gamma_i = \left( 1 + \frac{\pi^2 \cdot E_i \cdot A_i \cdot s_i}{K_i \cdot l^2} \right)^{-1}\)
Ett förbands förskjutningsmodul i brottgränstillstånd, Ku, bör väljas till:
\(K_u = \frac{2}{3} \cdot K_{ser}\) , där Kser som är förskjutningsmodul för spik (utan förborrning) är \(K_{ser}= {\rho_m}^{1,5} \cdot \frac{d^{0,8}}{30} = 350^{1,5} \cdot \frac{3,1^{0,8}}{30} = 539 \: \text{N/mm}\)
\(K_u= \frac{2}{3} \cdot 539 = 359 \: \text{N/mm}\)
Spikarna slås parvis med avståndet 100 mm mellan paren. Det effektiva avståndet blir s (spikavståndet längs stolpen) = 50 mm.
\(\gamma_1=\gamma_3=\left( 1 + \frac{\pi^2 \cdot 7000 \cdot 10^6 \cdot 0,095 \cdot 0,045 \cdot 0,050}{359 \cdot 10^3 \cdot 2,7^2} \right)^{-1} = 6,643^{-1} = 0,151\)
Virkesdelarna (1 och 3) är lika (95x45), ingen mellanliggande del (2) ingår, vilket ger
\((EI)_{ef} = \sum_{i=1}^3 (EiIi + \gamma_iE_iA_i{a_i}^2) = 2 \cdot (7000 \cdot 10^6 \cdot 0,095 \cdot \frac{0,045^3}{12} + 0,151 \cdot 7000 \cdot 10^6 \cdot 0,095 \cdot 0,045 \cdot 0,0225^2) = 14674 \: \text{Nm}^2 \)
\(I_{ef}=\frac{14674}{7000 \cdot 10^6}=2,10 \cdot 10^{-6} \: \text{m}^4\)
\(\lambda_{ef}=2,7 \cdot \sqrt{\frac{0,090 \cdot 0,095}{2,10 \cdot 10^{-6}}} = 172\)
\(\lambda_{rel,z}=\frac{\lambda_{ef}}{\pi} \cdot \sqrt{\frac{f_{c,0,k}}{E_{0,05}}} = \frac{172}{\pi} \cdot \sqrt{\frac{16}{4700}} =3,19\)
\(\beta_c = 0,2 \) för massivt trä ger
\(k_z = 0,5 \cdot \left( 1 + \beta_c \cdot ( \lambda_{rel,z} - 0,3) + {\lambda_{rel,z}}^2 \right)= 0,5 \cdot \left( 1 + 0,2 \cdot (3,19-0,3)+3,19^2\right)=5,87\)
Knäckfaktor
\(k_{c,z}=\frac{1}{k_z + \sqrt{{k_z}^2-{\lambda_{rel,z}}^2}} = \frac{1}{5,87 + \sqrt{5,87^2 - 3,19^2}}=0,093\)
Dimensionerande värde på tryckhållfasthet med hänsyn till knäckning blir:
0,093 · 9,85 = 0,92 MPa > 0,84 MPa
Stolpen är OK!
Bärförmåga - spikförband
Kraften på en enskild förbindare sätts till
\(F_i=\frac{\gamma_i \cdot E_i \cdot A_i \cdot a_i \cdot s_i}{(EI)_{ef}} \cdot V_d\)
Om λef > 60 gäller:
\(V_d=\frac{F_{c,d}}{60 \cdot k_c}=\frac{7,23}{60 \cdot 0,093}=1,3 \:\text{kN}\)
\(F_1=\frac{0,151 \cdot 7000 \cdot 10^6 \cdot 0,095 \cdot 0,045 \cdot 0,0225 \cdot 0,050}{14674} \cdot 1,30 \cdot 10^3 = 450 \: \text{N}\)
Karakteristisk bärförmåga för enskärigt spikförband trä mot trä, med ρk = 290 kg/m3 (C14), fu = 600 N/mm2 (spik):
Fv,Rk = 0,88 kN
Dimensionerande värde på bärförmåga blir med
kmod = 0,80
γm = 1,3
\(F_{v,Rd}=\frac{k_{mod} \cdot F_{v,Rk}}{\gamma_m}=\frac{0,80 \cdot 880}{1,3} = 541 \:\text{N per spik}\)
Fv,Rd > F1 = OK!
4. Kontroll av bruksgränstillståndet
Kontroll av bruksgränstillståndet är inte nödvändigt eftersom stolpen endast är belastad med normalkraft.
