Dimensionering av en sadelbalk (ULS och SLS)

Figur 1: Balkens geometri.

Laster som verkar på balken

Lasterna som beaktas för dimensioneringen av sadelbalken är följande: balkens egentyngd, takets egentyngd och snölast. Vindlasten kan bortses från. Centrumavstånden mellan primärbalkarna är ℓ₁ = 6 m. Influensarean för balken betraktas som 10 procent större än ℓ × ℓ₁, för att ta hänsyn till effekten av åsarnas kontinuitet över primärbalkarna. Snölasten reduceras för att ta hänsyn till formfaktorn μ för taket; μ = 0,8 + 5,7 / 20 ∙ 0,3 = 0,8855. Vi räknar här som en approximation på säkra sidan med läsidans snölast enligt EKS 10 jämnt utbredd över hela balkens längd.

Tabell 1

Lasttyp	Jämnt fördelad last [kN/m2]	Jämnt fördelad last [kN/m]
Balkens egentyngd		g1k = 1,10
Takets egentyngd	0,6	g2k = 3,96
Snö	1,5	s = 8,77

 

Lastkombinationer

En möjlig kollaps av sadelbalken är av en sådan natur att den kan medföra stor risk för personskada. Därför antas säkerhetsfaktorn vara hög (säkerhetsklass 3), så att γ_d = 1. Balkarna antas vara inomhus i en uppvärmd miljö. Därför karakteriseras de av en miljö där den relativa fuktigheten mycket sällan, om alls, överstiger 65 %. Således antas klimatklass 1.

Tabell 2

Säkerhetsklass	Klimatklass	Lastkombinationer [kN/m]	Lastvaraktighet	kmod	kdef
Bruksgränstillstånd (SLS)
–	1	gk = (g1k + g2k) = 5,1		–	0,6
–	1	s = 8,77		–	0,6
Brottgränstillstånd (ULS)
3 → γd = 1	1	gd = 1 ⋅ 1,2 ⋅ (g1k + g2k) = 6,1	permanent	0,6	–
3 → γd = 1	1	qd = 1 ⋅ [1,2 ⋅ (g1k + g2k) + 1,5 x s] = 19,23	medellång	0,8	–

 

Material

Materialet som används för denna stomme är limträ GL30c (γ_M = 1,25, k_mod = 0,8).

Tabell 3

Egenskap	Dimensioneringsvärden
Böjning	fm,d = 19,2 MPa
Skjuvning	fv,d = 2,2 MPa
Tryck parallellt med fibrerna	fc,0,d = 15,7 MPa
Tryck vinkelrätt mot fibrerna	fc,90,d = 1,6 MPa
Drag parallellt med fibrerna	ft,0,d = 12,5 MPa
Drag vinkelrätt mot fibrerna	ft,90,d = 0,32 MPa
Elasticitetsmodul	E0,mean = 13 000 MPa
Skjuvmodul	Gmean = 650 MPa

 

1. Böjning vid ett kritiskt tvärsnitt (x = x₀) och vid mitten av spannet (x = ℓ / 2)

a. Bestämning av spänningar

Figur 2

För en symmetrisk sadelbalk med konstant jämnt fördelad last q_d, kan läget för det kritiska tvärsnittet – det vill säga abskissan där de största böjspänningarna uppstår – beräknas som följer (Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Ekvation 3.46):

\({x_0} = \frac{{\ell \cdot h}}{{2 \cdot {h_{{\mathop{\rm ap}\nolimits} }}}} = \frac{{20000 \cdot 700}}{{2 \cdot 1698}} = 4122\;{\mathop{\rm mm}\nolimits} \)

Motsvarande tvärsnittshöjd för balken är:

\({h_0} = h + {x_0} \cdot \tan {5,7^{\rm{o}}} = 700 + 4122 \cdot \tan {5,7^{\rm{o}}} = 1111\;{\rm{mm}}\)

Böjmomentet i det kritiska tvärsnittet är:

\({M_{\rm{0}}} = \frac{{{q_\rm d} \cdot {x_{\rm{0}}}}}{2} \cdot (\ell - {x_{\rm{0}}}) = \frac{{19,23\, \cdot \,4,12}}{2} \cdot (20 - 4,12) = 629,3\;{\rm{kNm}}\)

Den motsvarande böjspänningen i det kritiska tvärsnittet är:

\({\sigma _{\rm m{\rm{,}}\alpha {\rm{,}}\rm d}} = {\sigma _{\rm m{\rm{,0,}}d}} = \frac{{6 \cdot {M_{\rm{0}}}}}{{b \cdot h_0^2}} = \frac{{6 \cdot 629,3 \cdot {{10}^6}}}{{190 \cdot {{1111}^2}}} = 16,1\;{\rm{MPa}}\)

Böjmomentet vid spannets mitt är:

\({M_{{\rm{ap,d}}}} = \frac{{{q_d} \cdot {\ell ^2}}}{8} = \frac{{19,23 \cdot {{20}^2}}}{8} = 961,5\;{\rm{kNm}}\)

Motsvarande böjspänning vid spannets mitt är:

\({\sigma _{{\rm{m,d}}}} = \frac{{6 \cdot {M_{{\rm{ap,d}}}}}}{{b \cdot {h_{{\mathop{\rm ap}\nolimits} }}^2}} = \frac{{6 \cdot 961,5 \cdot {{10}^6}}}{{190 \cdot {{1698}^2}}} = 10,5\;{\rm{MPa}}\)

Vid spannets mitt (hjässan) ska dragspänningarna vid böjning ökas med en faktor k_ℓ för att ta hänsyn till det faktum att balkens tvärsnittshöjd inte är konstant, utan varierar linjärt och har en singularitet vid hjässan. Ökningsfaktorn k_ℓ ökar med ökande taklutning och den kan hämtas ur Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Avsnitt 8.2 eller Eurokod 5: Ekvation 6.43. För en lutning α = 5,7° → k_ℓ = 1,2.

\({\sigma _{\rm{m}}}_{,\rm d} = {k_\ell } \cdot {\sigma _{\rm m,d}} = 1,2 \cdot 10,5 = 12,6\;{\rm{MPa}}\)

b. Verifieringar

Vid den snedsågade kanten på balken måste böjhållfastheten reduceras med en faktor k_m,α för att ta hänsyn till effekten av samtidig verkan av tryck parallellt med fibrerna, drag vinkelrätt mot fibrerna och skjuvning. Reduktionsfaktorn k_m,α ökar med ökande taklutning och den kan erhållas från Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Figur 3.35. För en lutning α = 5,7° → k_m,α = 0,86.

Tabell 4

Läge	σm,d [MPa]	fm,d [MPa]	km,α	fm,α,d [MPa]	Utnyttjandegrad
x = x0	16,1	19,2	0,86	19,2 ⋅ 0,86 = 16,5	16,1 / 16,5 = 0,97
x = ℓ / 2	12,6	19,2	–	–	12,6 / 19,2 = 0,65

σ_m,d = dimensionerande böjspänning; f_m,d = dimensionerande böjhållfasthet; f_m,α,d = reducerad dimensionerande böjhållfasthet (snedsågad kant).

 

Vippning i sidled

Vippning i sidled för sadelbalken (primärbalkar) kan endast uppstå mellan två intilliggande åsar, under villkoret att 1) taket är stagat i tvärriktningen och 2) åsarna är fullgott infästa i primärbalkarna. I sådana fall, kan knäcklängden antas som centrumavståndet mellan åsarna, det vill säga ℓ₂ = 2 400 mm. Inom detta avstånd kan tvärsnittshöjden anses vara konstant. Den kritiska böjspänningen kan beräknas enligt Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Ekvation 3.34:

\({\sigma _{\rm m,crit}} \approx \frac{{0,78 \cdot {b^2}}}{{{h_0} \cdot {\ell _{\rm ef}}}} \cdot {E_{0,05}} = \frac{{0,78 \cdot {{190}^2}}}{{1111 \cdot 2400}} \cdot 10800 = {\rm{114\;MPa}}\)

Det relativa slankhetstalet för böjning definieras i Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Ekvation 3.30 och den motsvarande reduktionsfaktorn k_crit definieras i Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Tabell 3.3:

\({\lambda _{\rm rel,m}} = \sqrt {\frac{{{f_{\rm m,k}}}}{{{\sigma _{\rm m,crit}}}}} = {\sqrt {\frac{{30}}{{114}}} _{}} = 0,51<{0,75_{}} \to {k_{\rm crit}} = 1\)

Då λ_rel,m ≤ 0,75 kan full böjhållfasthet uppnås utan risk för vippning i sidled.

Tvärkraftskapaciteten är viktig att kontrollera för snedsågade balkar, på grund av den ofta låga balkhöjden vid upplagen. Dock utelämnas denna kontroll i detta exempel.

2. Dragning vinkelrätt mot fibrerna

a. Bestämning av spänningar

Dragspänningarna vinkelrätt mot fibrerna kan utvärderas genom att multiplicera böjspänningen vid spannets mitt med faktorn k_p, vilken kan tas från Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Figur 3.38:

\({\sigma _{\rm t,90,d}} = {k_\rm p} \cdot {\sigma _{{\mathop{\rm m}\nolimits} ,\rm d}} = 0,02 \cdot 10,5 = 0,21\;{\rm{MPa}}\)

b. Verifieringar

Draghållfastheten vinkelrätt mot fibrerna ska reduceras för att ta hänsyn till volymeffekten. Volymen trä som dragbelastas kan uppskattas som i det följande (se Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Tabell 3.4):

\(V = b\, \cdot {h_{{\mathop{\rm ap}\nolimits} }}^2 = 190 \cdot {1698^2} \cdot {10^{ - 9}} = 0,55\;{{\rm{m}}^3}\)

Reduktionsfaktorn för volymeffekt kan beräknas enligt Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Ekvation 3.53:

\({k_{\rm vol}} = {k_{\rm dis}} \cdot {\left( {\frac{{0,01}}{V}} \right)^{0,2}} = 1,4 \cdot {\left( {\frac{{0,01}}{{0,55}}} \right)^{0,2}} = 0,63\)

där k_dis är en faktor som tar hänsyn till att dragspänningen vinkelrätt mot fibrerna inte är jämnt utbredd i den belastade trävolymen V.

Tabell 5

Läge	σt,90,d [MPa]	ft,90,d [MPa]	kvol	ft,90,d_red [MPa]	Utnyttjandegrad
x = ℓ / 2	0,21	0,32	0,63	0,63 ⋅ 0,32 = 0,20	0,21 / 0,20 = 1,045

 

Här ligger man alltså på gränsen till att behöva förstärka. En beräkning med oliksidig snölast enligt EKS 10 ger en reduktion av momentet till 97 % av det som använts i ovanstående beräkning. Utnyttjandegraden blir då 0,97 ∙ 1,045 = 1,01, vilket kan vara acceptabelt.

Dessutom måste kontroll av skjuvning vid upplag utföras. Detta är speciellt viktigt vid sadelbalkar som ju har reducerad tvärsnittshöjd vid upplag. Vid taklutningar 1/10 eller mer är ofta skjuvspänning vid upplag dimensionerande.

3. Skjuvning vid upplag

Upplagsreaktion

\(R = 19,229 \cdot 20/2 = 192,293\;{\rm{kN}}\)

Med fördel bestäms tvärkraften med hjälp av reduktion enligt Eurokod 5: Avsnitt 6.1.7 (3). Med åsar c 2400 går en last på en sträcka av 1 200 mm direkt ner i upplaget och bidrar alltså inte till skjuvspänningen.

\(V = R - 1,2 \cdot 19,229 = 169,218\;{\rm{kN}}\)

\(\tau = 1,5 \cdot 169,218 \cdot 1000/\left( {0,19 \cdot 0,7} \right) = 1,908 \cdot {10^6}\;{\rm{N/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)

\({f_{\rm v,d}} = 3,0/3,5 \cdot 3,5 \cdot {10^6} \cdot 0,8/1,25 = 1,920 \cdot {10^6}\;{\rm{N/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)

Utnyttjandegraden är då 1,908 / 1,920 = 0,99, vilket är godtagbart.

4. Tryck vinkelrätt mot fibrerna vid upplagen

a. Bestämning av spänningar

Vi antar att pelaren som bär sadelbalken har ett tvärsnitt 190 × 360 mm. Upplagsytan mellan balk och pelare är därför b × ℓ_b = 190 × 360 mm².

Tryckspänningen vinkelrätt mot fibrerna kan utvärderas enligt Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Avsnitt 5.2 eller Eurokod 5: 6.1.5:

\({\sigma _{\rm c,90,d}} = \frac{{0,5 \cdot {q_{\mathop{\rm d}\nolimits} } \cdot \ell }}{{{A_{\rm ef}}}} = \frac{{{q_{\mathop{\rm d}\nolimits} } \cdot \ell }}{2} \cdot \frac{1}{{b \cdot ({\ell _{\rm{b}}} + 30\,{\rm{ mm}})}} = \frac{{19,23 \cdot 20000}}{2} \cdot \frac{1}{{190 \cdot (360 + 30)}} = 2,60\;{\rm{MPa}}\)

b. Verifieringar

Tryckhållfastheten vinkelrätt mot fibrerna kan ökas med faktorn k_c,90 = 1,75

Eftersom g_k / q_k > 0,4 bör man inte välja att sätta k_mod och γ_M till 1,0.

Tabell 6

Läge	σc,90,d [MPa]	fc,90,d [MPa]	kc,90	f′c,90,d [MPa]	Utnyttjandegrad
x = 0	2,6	1,6	1,75	1,75 ⋅ 1,6 = 2,8	2,6 / 2,8 = 0,93

 

5. Nedböjning

För en sadelbalk som vilar på upplag och som är utsatt för en jämnt fördelad last q bör nedböjningen w utvärderas genom följande ekvation, Piazza med flera (2005), se Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Avsnitt 3.6:

\(w = \frac{5}{{384}} \cdot \frac{{q \cdot {\ell ^4}}}{{{E_{{\rm{0,mean}}}} \cdot {I_{\mathop{\rm y}\nolimits} }}} \cdot {k_{\rm{m}}} + \chi \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{{q \cdot {\ell ^2}}}{{{G_{{\rm{mean}}}} \cdot A}} \cdot {k_{\rm{v}}}\)

där χ = 1,2, I_y och A är tröghetsmomentet respektive tvärsnittsarean vid upplaget, medan k_m och k_v definieras som:

\({k_{\rm{m}}} = {\left( {\frac{h}{H}} \right)^3} \cdot \frac{1}{{0,15 + 0,85 \cdot h/H}} = {\left( {\frac{{700}}{{1698}}} \right)^3} \cdot \frac{1}{{0,15 + 0,85 \cdot 700/1698}} = 0,14\)

\({k_{\rm{v}}} = \frac{2}{{1 + {{\left( {H/h} \right)}^{2/3}}}} = \frac{2}{{1 + {{\left( {1698/700} \right)}^{2/3}}}} = 0,71\)

De momentana nedböjningarna är:

• w_g,inst – på grund av egentyngd
• w_qs1,inst – på grund av den variabla lasten q_s1 (snölast)

\(\begin{array}{l} {w_{{\rm{g,inst}}}} = \frac{5}{{384}} \cdot \frac{{{g_\rm k} \cdot {\ell ^4}}}{{{E_{{\rm{0,mean}}}} \cdot {I_{\rm{y}}}}} \cdot {k_{\rm{m}}} + \chi \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{{{g_\rm k} \cdot {\ell ^2}}}{{{G_{{\rm{mean}}}} \cdot A}} \cdot {k_{\rm{v}}} = \\ = \frac{5}{{384}} \cdot \frac{{5,1\, \cdot \,{{20000}^4} \cdot \,12}}{{13000\, \cdot \,190\, \cdot \,{{700}^3}}} \cdot 0,14 + 1,2 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{{5,1\, \cdot \,{{20000}^2}}}{{650\, \cdot \,190\, \cdot \,700}} \cdot 0,71 = 23\;{\rm{mm}} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} {w_{{\rm{qs1,inst}}}} = \frac{5}{{384}} \cdot \frac{{s \cdot {\ell ^4}}}{{{E_{{\rm{0,mean}}}} \cdot {I_{\rm{y}}}}} \cdot {k_{\rm{m}}} + \chi \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{{s \cdot {\ell ^2}}}{{{G_{{\rm{mean}}}} \cdot A}} \cdot {k_{\rm{v}}} = \\ = \frac{5}{{384}} \cdot \frac{{8,77\, \cdot \,{{20000}^4}\, \cdot \,12}}{{13000\, \cdot \,190\, \cdot \,{{700}^3}}}\,\, \cdot \,\,0,14 + 1,2\,\; \cdot \;\frac{1}{8} \cdot \frac{{8,77\, \cdot \,{{20000}^2}}}{{650\, \cdot \,190\, \cdot \,700}}\,\, \cdot \,\,0,71 = 41\;{\rm{mm}} \end{array}\)

Med Ψ_2,1 = 0,1 (snölast i snözon 1,5) och k_def = 0,6 (klimatklass 1), är den slutliga nedböjningen:

\(\begin{array}{l} {w_{{\rm{fin}}}} = {w_{{\rm{g,inst}}}} \cdot \left( {1 + {k_{{\rm{def}}}}} \right) + {w_{{\rm{q,inst}}}} \cdot \left( {1 + {\psi _{2,1}} \cdot {k_{{\rm{def}}}}} \right) = \\ = 23 \cdot (1 + 0,6) + 41 \cdot (1 + 0,1 \cdot 0,6) = 37 + 43 = 80\;{\rm{mm}} \end{array}\)

Denna nedböjning motsvarar ℓ / 249 vilket är fullt acceptabelt för en industrilokal. För skolor, butiker och liknande lokaler med högre krav kan man emellertid överväga att tillverka balken med en överhöjning av exempelvis 70 mm.