Balkarnas längd är 9,8 m och de är placerade på 4,8 m centrumavstånd. På balkarna vilar åsar på 1,25 m centrumavstånd.
Balkarna har rektangulär sektion med konstant tvärsnittshöjd. De är förhindrade att vridas och att röra sig i sidled vid upplagen och åsinfästningarna.
1. Förutsättningar
Längd: 9800 mm
Centrumavstånd: 4800 mm
Åsavstånd: 1250 mm
Snölast: sk = 1,5 kN/m2
Takets egentyngd inklusive åsar: gk = 0,3 kN/m2
Klimatklass: 1
Säkerhetsklass: 2 (γd = 0,91)
Hållfasthetsklass: fanerträ (γm = 1,2)
2. Preliminära dimensioner
Preliminär balkdimension väljs med utgångspunkt från en uppskattning av erforderlig bärförmåga med avseende på böjande moment.
Lastvärden
Antag att balkarnas egentyngd är 0,2 kN/m, vilket motsvarar en jämnt utbredd last på 0,04 kN/m2.
Total egentyngd
g = 0,3 + 0,04 = 0,34 kN/m2
Karakteristisk snölast
s = μ · sk = 0,8 · 1,5 = 1,2 kN/m2
I brottgränstillståndet är vanligtvis lastkombination med snö som huvudlast dimensionerande. Med bara en variabel last (snö) fås
qd = 0,91· 0,89 · 1,35 · 0,34 + 0,91 · 1,5 · 1,2 = 2,0 kN/m2
eller per meter balk
qd = 4,8 · 2,0 = 9,6 kN/m
Kortvarigaste last i lastkombinationen är snölast (lastvaraktighetsklass medellång).
Anmärkning: I verkligheten är inte lasterna jämnt fördelade utan består huvudsakligen av upplagsreaktioner från åsarna, angripande i balkens överkant.
Dimensionerande böjmomentet uppträder i fältmitt och blir
\(M_{sd}=\frac{q_d \cdot l^2}{8}=\frac{9,6 \cdot 9,8^2}{8} = 115,3 \:\text{kNm}\)
Ur tabell Fanerträ: Dimensionerande bärförmåga, kan man nu välja en balk med erforderlig bärförmåga och inte alltför slankt tvärsnitt. Med hänsyn till vippning och hantering bör balkens bredd inte vara mindre än 1/6 - 1/8 av balkhöjden.
För 75x600 mm2 ger tabellen MRd = 132,0 kNm
3. Kontroll av brottgränstillståndet
Lasteffekt - moment
Dimensionerande moment uppträder i fältmitt enligt ovan
Md= 115,3 kNm
\(\sigma_{m,d}=\frac{M_d}{W} = \frac{115,3 \cdot 10^6 \cdot 6}{75 \cdot 600^2} = 25,62\:\text{MPa}\)
Bärförmåga - böjmoment
Dimensionerande värde på böjhållfastheten blir med exponenten för storlekseffekt s=0,12 för fanerträ
\(k_h = \left(\frac{300}{h} \right)^s = \left(\frac{300}{600} \right)^{0,12} = 0,920\)
fmk = 44,0 MPa
kmod = 0,8 (lastvaraktighet medel, klimatklass 1)
γm = 1,2 (fanerträ)
\(f_{m,d} = \frac{k_{mod} \cdot k_h \cdot f_{mk}}{\gamma_m} = \frac{0,8 \cdot 0,920 \cdot 44,0}{1,2} = 26,99\:\text{MPa}\)
Eftersom balkens överkant är fri att förskjutas i sidled mellan åsarna ska risken för vippning beaktas. Effektiva längden kan sättas till ℓef = åsavståndet = 1,25 m förutsatt att åsarna är tillräckligt infästa i balkarna så att dessa kan stagas i tvärled.
Böjvridstabilitet vid enbart moment My kring y-axeln bör verifieras, så att spänningarna uppfyller följande villkor:
\(\sigma_{m,d} \leq k_{crit} \cdot f_{m,d}\)
där \(k_{crit}= \begin{cases} 1 &\lambda_{rel,m}\leq 0,75 \\ 1,56 - 0,75 \cdot \lambda_{rel,m} &0,75 < \lambda_{rel,m} \leq 1,4 \\ \frac{1}{{\lambda_{rel,m}}^2} &1,4 < \lambda_{rel,m} \end{cases}\)
Det relativa slankhetstalet vid böjning bör sättas till:
\(\lambda_{rel,m}\ = \sqrt{\frac{F_{m,k}}{\sigma_{m,crit}}}\)
där:
\(\sigma_{m,crit}\)är kritisk böjspänning med utnyttjande av styvhetsvärdenas 5-procentsfraktil.
För barrträ med massivt rektangulärt tvärsnitt kan \(\sigma_{m,crit}\) beräknas som:
\(\sigma_{m,crit} = \frac{0,78 \cdot b^2}{h \cdot l_{ef}} \cdot E_{0,05}=\frac{0,78 \cdot 0,075^2}{0,6 \cdot 1,25} \cdot 11600 \cdot 10^6 = 67,8 \:\text{MPa}\)
\(\lambda_{rel,m} = \sqrt{\frac{44}{67,8}}=0,80\)
Κcrit=1,56 - 0,75 · λrel,m= 1,56 - 0,75 · 0,80=0,96
\(\sigma_{m,d} = 25,62 \:\text{MPa}<k_{crit} \cdot f_{m,d} = 0,96 \cdot 26,99 = 25,91 \:\text{MPa}\)
Dimensioneringsvillkoret är alltså uppfyllt!
Lasteffekt - tvärkraft
Dimensionerande tvärkraft uppträder vid upplagen.
\(V_d = \frac{q_d \cdot l}{2}=\frac{9,6 \cdot 9,8}{2}=47,0 \:\text{kN}\)
\(\tau_d= \frac{1,5 \cdot V_d}{A}=\frac{1,5 \cdot 47,0 \cdot 10^3}{0,075 \cdot 0,6}=1,57 \:\text{kN}\)
Bärförmåga - tvärkraft
Dimensionerande värde på skjuvhållfastheten blir med
fvk = 4,1 MPa (parallellt limfogarna)
kmod = 0,8 (lastvaraktighet medel, klimatklass 1)
γm = 1,2 (fanerträ)
\(f_{v,d}= \frac{k_{mod} \cdot f_{v,k}}{\gamma_m}=\frac{0,8 \cdot 4,1}{1,2}=2,73 \:\text{MPa}\)
Dimensioneringsvillkoret fv,d > τd är alltså uppfyllt!
Observera. Enligt Eurokod 5 är det möjligt att reducera tvärkraften vid upplag. Denna möjlighet behöver dock inte utnyttjas i detta fall.
4. Kontroll av bruksgränstillståndet
Funktionskriterier
Kontroll av bruksgränstillstånd kan ske enligt flera olika funktionskriterier. Deformationerna hos en konstruktion under påverkan av laster ska begränsas med hänsyn till risken för skador samt med hänsyn till funktionskrav och estetiska krav. Gränsvärden för nedböjningar bestäms från fall till fall, och gränsvärden med hänsyn till utseende eller komfort kan anges av byggherren.
Vid dimensionering av takkonstruktioner innebär dimensionering mot permanent skada som regel att man begränsar nedböjningen i de punkter där icke bärande innerväggar ansluter. Enligt praxis är den största acceptabla nedböjningen i industrilokaler ca 40 mm.
Vid dimensionering mot tillfällig olägenhet brukar man acceptera en maximal nedböjning hos takbalkar i industrilokaler som motsvarar L/150 det vill säga i detta fall 65 mm.
Permanent skada - lastvärden och lasteffekter
Slutlig nedböjning av karakteristisk lastkombination kan symboliskt skrivas:
Wfin = wfin,g + wfin,q
där
wfin,g = winst,g (1+kdef),
wfin,q = winst,q (1+ψ2∙kdef) för snölasten där ψ2 är faktor för kvasipermanentvärdet (ψ2=0,1)
kdef = 0,60 för klimatklass 1.
E-modul parallellt fibrerna är 13800 MPa. Om man enligt ovan använder förenklingen att ersätta punktlaster från takåsarna med en jämnt utbredd last får man följande uttryck för att beräkna balkens
nedböjning i fältmitt:
\(w_{inst,g}= \frac{5}{384} \cdot \frac{4,8 \cdot 0,34 \cdot 10^3 \cdot 9,8^4 \cdot 12}{13800 \cdot 10^6 \cdot 0,075 \cdot 0,600^3} = 10,5 \:\text{mm} \)
\(w_{inst,q}= \frac{5}{384} \cdot \frac{4,8 \cdot 1,2 \cdot 10^3 \cdot 9,8^4 \cdot 12}{13800 \cdot 10^6 \cdot 0,075 \cdot 0,600^3} = 37,1 \:\text{mm} \)
wfin,g = winst,g (1+kdef) = 10,5 · (1 + 0,60) = 16,8 mm
wfin,q = winst,q (1+ψ2∙kdef) = 37,1 · (1 + 0,10·0,60) = 39,3 mm
wfin = wfin,g + wfin,q = 16,8 + 39,3 = 56,1 mm > 40 mm
Enligt ovan kan man acceptera 40 mm nedböjning hos takbalkar som ansluter mot icke bärande innerväggar. Med den valda balkdimensionen bör därför sådana väggar undvikas annat än mycket nära upplagen.
Tillfällig olägenhet - lastvärden och lasteffekter
Slutlig nedböjning av frekvent lastkombination kan symboliskt skrivas:
Wfin = wfin,g + wfin,q
där
wfin,g = winst,g (1+kdef),
wfin,q = winst,q (ψ1+ψ2∙kdef) för snölasten där ψ1 är faktor för frekventa värdet (ψ1=0,3) och ψ2 för kvasipermanentvärdet (ψ2=0,1)
kdef = 0,60 för klimatklass 1.
wfin,g = winst,g (1+kdef) = 10,5 · (1 + 0,60) = 16,8 mm
wfin,q = winst,q (ψ1+ψ2∙kdef) = 37,1 · (0,30 + 0,10·0,60) = 13,3 mm
wfin = wfin,g + wfin,q = 16,8 + 13,3 = 30,1 mm < 65 mm OK!
Dimensioneringsvillkoret är alltså uppfyllt
5. Vald dimension
Välj balk med tvärmåtten 75x600 mm2.
