Kontroll av vippning för en limträbalk

Figur 1

En fritt upplagd balk är belastad med punktlaster (orsakade av pelare stående på balken). Punktlasterna är av storleken G_k = 5,25 kN karakteristisk last (permanent varaktighet) och Q_k = 14,45 kN variabel last (medellång varaktighet). Balklängden är ℓ = 10 m. Balken har dimensionerna h = 630 mm och b = 115 mm och är tillverkad av limträ GL30c.

Kontrollera om balkdimensionen är tillräcklig i klimatklass 1 och säkerhetsklass 3.
(Inkludera effekten av vippning i sidled)

1. Geometriska egenskaper
för balken

Balkbredd: b = 115 mm

Balkhöjd: h = 630 mm

Fri spännvidd för balken: ℓ = 10 000 mm

Böjmotstånd för balken kring axeln y-y:

\({W_\rm y} = \frac{{b \cdot {h^2}}}{6}\quad \quad \quad {W_\rm y} = 7,61 \cdot {10^6}\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^3}\)

2. Limträegenskaper

Limträ GL30c:

Karakteristisk böjhållfasthet: f_m,k = 30 N/mm²

Karakteristisk skjuvhållfasthet: f_v,k = 3,5 N/mm²

Karakteristisk tryckhållfasthet vinkelrätt mot fibrerna: f_c,90,k = 2,5 N/mm²

5-percentilens elasticitetsmodul parallellt med fibrerna: E_0,05 = 10,8 kN/mm²

5-percentilens skjuvmodul parallellt med fibrerna: G₀₅ = 0,54 kN/mm²

Elasticitetsmodulens medelvärde parallellt med fibrerna: E_0,mean = 13,0 kN/mm²

Skjuvmodul medelvärde: G_mean = 0,65 kN/mm²

Balkens medeldensitet: ρ_m = 430 kg/m³

3. Partialkoefficienter

EKS 10: Tabell B-3 för brottgränstillstånd (ULS):
Permanent last: γ_G = 1,35
Variabel last: γ_Q = 1,5

Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Tabell 3.1
Materialfaktor för limträ: γ_M = 1,25
Säkerhetsklass 3: γ_d = 1,0

4. Laster

Egentyngd för balken (ofta brukar antas 5 kN/m³ som egentyngd för trä generellt vid dimensionering):
g_k,selfwt = b ∙ h ∙ g ∙ ρ_m
g_k,selfwt = 0,31 kN/m

Dimensionerande verkan av balkens egentyngd:
g_d,selfwt = γ_d ∙ ξ ∙ γ_G ∙ g_k,selfwt
g_d,selfwt = 0,37 kN/m

Karakteristisk permanent verkan av punktlasten: G_k,p = 5,25 kN

Karakteristisk variabel verkan av punktlasten: Q_k,p = 14,45 kN

Dimensionerande verkan av punktlasten för det kritiska lastfallet i brottgränstillståndet (Eurokod 0: Ekvation 6:10 och EKS 10: Tabell B-3, där vi använder den ogynnsamma variabla verkan):
F_d,p = γ_d ∙ ξ ∙ γ_G ∙ G_k,p + γ_d ∙ γ_Q ∙ Q_k,p
F_d,p = 1,0 ∙ 0,89 ∙ 1,35 ∙ 5,25 + 1,0 ∙ 1,5 ∙ 14,45 = 27,98 kN

5. Modifieringsfaktorer

Faktor för belastning med medellång varaktighet M och klimatklass 1 (Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Tabell 3.2): k_mod = 0,8

Storleksfaktor för tvärsnittshöjd större än 600 mm (Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Avsnitt 3.3): k_h = 1,0

Sidostabilitet för balken (Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Kapitel 4): k_crit

Effektiv längd för balken – anpassa fallet till det mest kritiska förhållandet – punktlasten (koncentrerad last) mitt på spannet (Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Tabell 4.1):
ℓ_ef = 0,8ℓ
ℓ_ef = 8 m

Kritisk böjspänning (Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Kapitel 4 eller Eurokod 5: Ekvation 6.32):

\({\sigma _{\rm m,crit}} = \frac{{0,78 \cdot {b^2}}}{{h\;{\ell _{{\mathop{\rm ef}\nolimits} }}}}{E_{0,05}}\)

\({\sigma _{{\mathop{\rm m}\nolimits} ,\rm crit}} = \frac{{0,78 \cdot {{115}^2}}}{{630 \cdot \left( {0,8 \cdot 10000 + 2 \cdot 630} \right)}} \cdot 10800 = 19,1\;{\rm{N/m}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)

Relativ slankhet vid böjning (Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Kapitel 4 eller Eurokod 5: Ekvation 6.30):

\({\lambda _{{\mathop{\rm rel}\nolimits} ,\rm m}} = \sqrt {\frac{{{f_{{\mathop{\rm m}\nolimits} ,k}}}}{{{\sigma _{\rm m,crit}}}}} \)

λ_rel,m = 1,25

Sidostabilitetsfaktor (Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Kapitel 4 eller Eurokod 5: Ekvation 6.34):

\({k_{{\mathop{\rm crit}\nolimits} }} = \left\{ \begin{array}{l} 1 & {\rm{för}}\quad {\lambda _{{\mathop{\rm rel}\nolimits} \rm ,m}} \le 0,75\\ 1,56 - 0,75{\lambda _{{\mathop{\rm rel}\nolimits} \rm ,m}} & {\rm{för}}\quad 0,75<{\lambda _{{\mathop{\rm rel}\nolimits} \rm ,m}} \le 1,4\\ \frac{1}{{{\lambda _{{\mathop{\rm rel}\nolimits} \rm ,m}}^2}} & {\rm{för}}\quad {\lambda _{{\mathop{\rm rel}\nolimits} \rm ,m}}>1,4 \end{array} \right.\)

k_crit = 0,62

6. Momentkapacitet

Det dimensionerande lastfallet i brottgränstillståndet kommer att bero av balkens egentyngd samt kombinationen av permanent och variabel punktlast mitt på spannet:

Dimensionerande böjmoment: M_Ed = 74,6 kNm

Dimensionerande böjhållfasthet: f_m,y,d = 19,20 N/mm²

Dimensionerande böjhållfasthet med hänsyn till vippning i sidled (Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Kapitel 4):
M_Rd = f_m,y,d ∙ W_y ∙ k_crit
M_Rd = 90,6 N/mm²

Momentkapaciteten är tillfredsställande med limträ, 115 × 630 GL30c.

7. Tvärkraftskapacitet

Det dimensionerande lastfallet kommer att bero av balkens egentyngd samt kombinationen av permanent och variabel punktlast mitt på spannet:

Dimensionerande värde för tvärkraft i änden: V_d = 15,8 kN

Modifieringsfaktor för skjuvning (sprickfaktor): k_cr = 3,0 / 3,5 = 0,86

Effektiv bredd för skjuvning:
b_ef = k_cr ∙ b
b_ef = 99 mm

Dimensionerande skjuvspänning (Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Kapitel 6): τ_d = 0,38 N/mm²

Dimensionerande skjuvhållfasthet (Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Avsnitt 3.1): f_v,d = 2,24 N/mm²

Balkdimensionen är tillräcklig.