Centrumavstånd till angränsande balkar 6 m. Yttertaket består, utifrån räknat, av trapetsproflerad plåt, mineralullsisolering och en bärande, högprofilerad plåt, upplagd direkt på balkens ovansida och infäst så att balkens överkant är förhindrad att böja ut i sidled. Balken är förhindrad att vridas och att röra sig i sidled vid upplagen.
1. Förutsättningar
- Spännvidd: 21000 mm
- Centrumavstånd: 6 000 mm
- Taklutning 1:16 (3,5°)
- Snölast: sk = 1,5 kN/m2
- Snölastens formfaktor: µ = 0,8
- Yttertakets egentyngd: 0,3 kN/m2
- Klimatklass: 1
- Säkerhetsklass: 3 (γd = 1,0)
- Hållfasthetsklass: CE L40c
- Dimensionering enligt Eurokod 5 (γm = 1,25)
2. Preliminära dimensioner
Med hjälp av diagram i Limträhandboken kan man bestämma förhållandet mellan spännvidd och erforderlig balkhöjd för en fritt upplagd tvåstödsbalk som är belastad med jämnt fördelad last. Diagrammet gäller för balkar i säkerhetsklass 2 och klimatklass 1 eller 2. Ingångsvärde i diagrammet i Limträhandboken är kvoten qd/b/fm,d mellan last per meter balk, balkbredd och dimensionerande böjhållfasthet och man börjar därför med att beräkna denna.
Anta att balkarnas egentyngd är 0,85 kN/m, vilket motsvarar en jämnt utbredd last på 0,14 kN/m2.
Total egentyngd g = 0,3 + 0,14 = 0,44 kN/m2
Karakteristisk snölast s = µ · sk = 0,8 · 1,5 = 1,20 kN/m2
I brottgränstillstånd är vanligtvis lastkombination med snö som huvudlast dimensionerande. Med bara en variabel last (snö) fås
qd = 1,0 · 0,89 · 1,35 · 0,44 + 1,0 · 1,5 · 1,2 = 2,3 kN/m2
eller per meter balk
qd = 6,0 · 2,3 = 13,8 kN/m
Kortvarigaste last i lastkombinationen är karakteristisk snölast (lastvaraktighetsklass medellång).
För att kunna beräkna ingångsvärdet qd/b/fmd beräknas dimensionerande värde på böjhållfastheten
κh = 1,0 för h > 600 mm
fm,k = 30,8 MPa (CE L40c)
kmod = 0,8 (lastvaraktighet medel, klimatklass 1)
γm = 1,25 (limträ)
\(f_{m,d}= \frac{k_{mod} \cdot f_{m,k}}{\gamma_m} = \frac{0,8 \cdot 30,8}{1,25} = 19,7 \:\text{MPa}\)
Nästa steg är att anta ett värde på balkbredden, till exempel 165 mm.
Med
\(q_d / b / F_{md} = 13,8 / 0,165 / 19,7 = 4,25\)
ger då diagrammet för sadelbalk med taklutningen 1:16 (3,5°)
\(\frac{h}{L} = 0,032\)
det vill säga erforderlig upplagshöjd är
0,032 · 21000 = 672 mm
Antag en upplagshöjd på 680 mm, detta motsvarar en höjd i nock på
\(h_{nock}= 680 + \frac{\frac{21000}{2}}{16}=1336 \:\text{mm}\)
Pröva sadelbalk 165 x 680 - 1336 – 680 x 21000
3. Kontroll av brottgränstillståndet
Lasteffekt - tvärkraft
\(\tau_{max}= \frac{1,5 \cdot 135500}{165 \cdot 680} = 1,81 \:\text{MPa}\)
Bärförmåga - tvärkraft
Dimensionerande värde på skjuvhållfastheten fvd beräknas
fvk = 3,5 MPa (CE L40c)
kmod = 0,8 (lastvaraktighet medel, klimatklass 1)
γm = 1,25 (limträ)
Enligt allmänt råd i EKS 9, BFS 2013:10, bör kcr enligt nedan användas för limträ som inte är exponerat för nederbörd och solstrålning.
\(k_{cr} = min \begin{cases} \frac{3,0}{f_{v,k}} \\ 1,0 \end{cases}\)
\(\frac{3,0}{f_{v,k}} = \frac{3,0}{3,5} = 0,857 < 1,0 \: \: \text{alltså} \:\: k_{cr} = 0,857\)
\(f_{v,d} = \frac{k_{cr} \cdot k_{mod} \cdot f_{v,k}}{\gamma_m} = \frac{0,857 \cdot 0,8 \cdot 3,5}{1,25} = 1,92 \:\text{MPa}>1,81 \:\text{MPa}\)
\(\text{Dimensioneringsvillkoret}\: \tau_d < f_{v,d} \:\text{är uppfyllt!}\)
Lasteffekt - moment
Eftersom tvärsnittshöjden varierar uppträder inte maximal böjspänning i samma snitt som maximalt moment utan i ett snitt vars läge bestäms av balkens geometri och belastning. Tvärsnittshöjdens variation medför dessutom att böjspänningarnas fördelning inte är linjär som vid en jämnhög balk.
Maximal böjspänning kan, vid jämnt fördelad belastning, beräknas med följande ekvation
\(x_{max}=\frac{l \cdot h}{2 \cdot h_{nock}} = \frac{21000 \cdot 680}{2 \cdot 1336} = 5344 \:\text{mm}\)
Där balkhöjden är
hmax = h+xmax∙tan3,5° = 680+5344∙tan3,5° = 1007 mm
Dimensionerande moment blir då
\(M_{max,d} = \frac{q_d \cdot x_{max}}{2} \cdot (l-x_{max}) = \frac{13,8 \cdot 5,344}{2} \cdot (21 - 5,344) = 577,3 \:\text{kNm}\)
\(\sigma_{m,d} = \frac{M_{max,d}}{W} = \frac{577,3 \cdot 10^6 \cdot 6}{165 \cdot 1007^2} = 20,7 \:\text{MPa}>19,7\:\text{MPa}\)
Dimensioneringsvillkoret \(\sigma_{m,d} < f_{md}\) är ej uppfyllt!
Öka dimensionen till sadelbalk 215 x 800 - 1456 – 800 x 21000.
\(x_{max}= \frac{l \cdot h}{2 \cdot h_{nock}} = \frac{21000 \cdot 800}{2 \cdot 1456} = 5769 \:\text{mm}\)
Där balkhöjden är
\(h_{max} = h + x_{mas}\cdot \tan3,5^\circ = 800 + 5769 \cdot \tan3,5^\circ = 1152 \:\text{mm}\)
Dimensionerande moment blir då
\(h_{max,d} = \frac{q_d \cdot x_{max}}{2}\cdot(l-x_{max})=\frac{13,8\cdot5,769}{2}\cdot(21-5,769) = 606,3 \:\text{kNm}\)
\(\sigma_{m,d}=\frac{M_{max,d}}{W}=\frac{606,3 \cdot 10^6\cdot6}{215 \cdot 1152^2} = 12,8 \:\text{MPa}<19,7\:\text{MPa}\)
Dimensioneringsvillkoret \(\sigma_{m,d} < f_{md}\) är uppfyllt!
I balkens överkant är böjhållfastheten reducerad på grund av att spänningarna där bildar vinkeln α med fiberriktningen. Reduktionsfaktor för snedsågad kant i tryckt zon beräknas. För balk som har sadelform gäller att i den yttersta fibern på den lutande ytan bör spänningarna uppfylla följande villkor:
\(\sigma_{m,\alpha,d}=\frac{M_d}{W} \leq k_{m,\alpha}\cdot f_{m,d}\)
där \(k_{m,\alpha}\) beräknas för tryckspänningar parallellt med lutande ytan som:
\(k_{m,\alpha} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{f_{m,d}}{1,5 \cdot f_{v,d}}\cdot\tan\alpha\right)^2 + \left(\frac{f_{m,d}}{f_{f_{c,90,d}}}\cdot \tan^2\alpha\right)^2}}\)
\(k_{m,\alpha} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left( \frac{19,7} {1,5 \cdot 1,92} \cdot \tan 3,5^\circ \right)^2 + \left(\frac{19,7}{1,73} \cdot \tan^2 3,5^\circ \right)^2}} = 0,922\)
där \(f_{c,90,d}= \frac{0,8\cdot2,7}{1,25} = 1,73\:\text{MPa}\)
\(k_{m,\alpha} \cdot f_{m,d} = 0,922 \cdot 19,7 = 18,2 \:\text{MPa}>\sigma_{m,d} = 12,8 \:\text{MPa}\)
I hjässzonen (inom området 0,5·hnock från hjässan) bör böjspänningarna uppfylla följande uttryck:
\(\sigma_{m,d} \leq k_r \cdot f_{m,d}\)
För sadelbalkar är kr = 1,0.
Spänningarna i hjässzonen bör beräknas enligt:
\(\sigma_{m,d} = k_l \frac{6 \cdot M_{nock,d}}{b\cdot {h_{nock}}^2}\)
där \(k_l = k_1 + k_2 \cdot\left(\frac{h_{nock}}{r}\right) + k_3 \cdot \left(\frac{h_{nock}}{r}\right)^2 + k_4 \cdot \left(\frac{h_{nock}}{r}\right)^3\)
För sadelbalk är \(k_l = k_1 = 1 + 1,4 \cdot \tan 3,5^\circ + 5,4 \cdot \tan^23,5^\circ = 1,10\)
\(M_{nock,d}=\frac{q_d\cdot l^2}{8} = \frac{13,8 \cdot 21^2}{8}=760,7 \:\text{kNm}\)
\(\sigma_{m,d} =k_l \cdot \frac{6 \cdot M_{nock,d}}{b \cdot {h_{nock}}^2} = 1,10 \cdot\frac{6 \cdot 760,7 \cdot 10^6 }{215 \cdot 1456^2} = 11,0 \:\text{MPa}<19,7\:\text{MPa}\)
Dimensioneringsvillkoret är således uppfyllt i balkens överkant!
Lasteffekt- tvärdragspänningar
I nockpartiet uppträder tvärdragspänningar. Med hänsyn till att draghållfastheten tvärs fiberriktningen är starkt beroende av den belastade volymen rekommenderas att värdet korrigeras genom multiplikation med en volymfaktor.
I hjässzonen bör enligt Eurokod 5 den största dragspänningen vinkelrätt fiberriktningen, \(\sigma_{t,90,d}\) uppfylla villkoret:
\(\sigma_{t,90,d} \leq k_{dis} \cdot k_{vol}\cdot f_{t,90,d}\)
Hjässzonens volym är ungefär:
\(V = h_{nock} \cdot h_{nock} \cdot b-(0,5 \cdot h_{nock})\cdot(0,5 \cdot h_{nock} \cdot \tan3,5^\circ)\cdot b\)
\(V = 1,456 \cdot 1,456 \cdot 0,215-(0,5 \cdot 1,456)\cdot(0,5 \cdot 1,456 \cdot \tan3,5^\circ)\cdot 0,215 = 0,45\) m3
\(k_{vol} = \left(\frac{V_0}{V}\right)^{0,2} = \left(\frac{0,01}{0,45}\right)^{0,2} = 0,47\) med referensvolymen V0 = 0,01 m3
\(k_dis = 1,4\) för sadelbalkar
Enligt Eurokod 5 bör den största dragspänningen vinkelrätt fiberriktningen av böjmomentet beräknas som:
\(\sigma_{t,90,d}=k_p \cdot \frac{6 \cdot M_{nock,d}}{b \cdot {h_{nock}}^2} = 0,2 \cdot \tan3,5^\circ \cdot \frac{6 \cdot 760,7 \cdot 10^6}{215 \cdot 1456^2} = 0,12 \:\text{MPa}\)
\(f_{t,90,d} = \frac{k_{mod} \cdot f_{t,90,k}}{\gamma_m} = \frac{0,8\cdot 0,40}{1,25} =0,256 \:\text{MPa}\)
\(k_{dis} \cdot k_{vol} \cdot f_{t,90,d} = 1,4 \cdot 0,47 \cdot 0,256 = 0,16 \:\text{MPa} > \sigma_{t,90,d} = 0,12 \:\text{MPa}\)
4. Kontroll av bruksgränstillståndet
Funktionskriterier
Kontroll av bruksgränstillstånd kan ske enligt flera olika funktionskriterier. Deformationerna hos en konstruktion under påverkan av laster ska begränsas med hänsyn till risken för skador samt med hänsyn till funktionskrav och estetiska krav. Gränsvärden för nedböjningar bestäms från fall till fall, och gränsvärden med hänsyn till utseende eller komfort kan anges av byggherren.
Vid dimensionering av takkonstruktioner med yttertak av trapetsprofilerad plåt innebär dimensionering mot permanent skada bland annat att man begränsar takbalkarnas nedböjning, så att inte funktionen hos det utvändiga tätskiktet äventyras genom att den resulterande taklutningen blir för liten. Vid taklutning 1:16 brukar man i sådana fall godta att maximal nedböjning uppgår till 1/110-del av spännvidden det vill säga i detta fall 190 mm. Beträffande dimensionering mot permanent skada på eventuella icke bärande mellanväggar, se exempel jämnhög rak balk av fanerträ.
Vid dimensionering mot tillfällig olägenhet brukar man acceptera en maximal nedböjning hos takbalkar i industrilokaler som motsvarar L/150, det vill säga i detta fall 140 mm.
Permanent skada - lastvärden och lasteffekter
Slutlig nedböjning av karakteristisk lastkombination kan symboliskt skrivas:
Wfin = wfin,g + wfin,q
där
wfin,g = winst,g (1+kdef),
wfin,q = winst,q (1+ψ2∙kdef) för snölasten där ψ2 är faktor för kvasipermanentvärdet (ψ2=0,1)
kdef = 0,60 för klimatklass 1.
Nedböjningen i fältmitt hos en symmetrisk sadelbalk, belastad med jämnt utbredd last, kan beräknas med hjälp av följande formel:
\(w=\frac{5}{384} \cdot \frac{q \cdot l^4}{E_{0,mean}\cdot I_e}\)
där tröghetsmomentet Ie beräknas med en ekvivalent balkhöjd
he = h + 0,33 · ℓ · tan α (h är balkhöjden vid upplag)
Med aktuella värden blir
he = 800 + 0,33 · 21000/16 = 1233 mm
Enligt föregående gäller
g = 0,44 · 6 = 2,6 kN/m
q1k = 1,20 · 6 = 7,2 kN/m
Nedböjningen blir
\(w_{inst,g} = \frac{5}{384} \cdot \frac{2,6 \cdot 10^3 \cdot 21^4 \cdot 12}{13000 \cdot 10^6 \cdot 0,215 \cdot 1,233^3} = 15,1 \:\text{mm}\)
\(w_{inst,q} = \frac{5}{384} \cdot \frac{7,2 \cdot 10^3 \cdot 21^4 \cdot 12}{13000 \cdot 10^6 \cdot 0,215 \cdot 1,233^3} = 41,8 \:\text{mm}\)
wfin,g = winst,g (1+kdef) = 15,1 · (1 + 0,60) = 24,2 mm
wfin,q = winst,q (1+ψ2∙kdef) = 41,8 · (1 + 0,10·0,60) = 44,3 mm
wfin = wfin,g + wfin,q = 24,2 + 44,3 = 68,5 mm < 190 mm
Dimensioneringsvillkoret är således uppfyllt!
Tillfällig olägenhet - lastvärden och lasteffekter
Slutlig nedböjning av frekvent lastkombination kan symboliskt skrivas:
Wfin = wfin,g + wfin,q
där
wfin,g = winst,g (1+kdef),
wfin,q = winst,q (ψ1+ψ2∙kdef) för snölasten där ψ1 är faktor för frekventa värdet (ψ1=0,3) och ψ2 för kvasipermanentvärdet (ψ2=0,1)
kdef = 0,60 för klimatklass 1.
wfin,g = winst,g (1+kdef) = 15,1 · (1 + 0,60) = 24,2 mm
wfin,q = winst,q (ψ1+ψ2∙kdef) = 41,8 · (0,30 + 0,10·0,60) = 15,0 mm
wfin = wfin,g + wfin,q = 24,2 + 15,0 = 39,2 mm < 140 mm
Dimensioneringsvillkoret är alltså uppfyllt!
5. Vald dimension
Välj sadelbalk 215 x 800 - 1456 – 800 x 21000 utan överhöjning.
