7.3.1 Snedsågade balkar

Vanligtvis begränsas spännvidden för snedsågade balkar till 30 m av tillverkningstekniska och transportekonomiska orsaker. Lutningen bör aldrig överskrida 10°. Vanligtvis är taklutningen i Sverige 1⁄20 – 1⁄10, det vill säga α ≈ 2,9 – 5,7°. Balkens höjd vid nocken bör inte vara mindre än ungefär l ⁄ 20, där l är balkens spännvidd. Bredden bör inte vara mindre än 1 ⁄ 7 av balkens höjd vid spännviddens fjärdedelspunkt, så att risk för vippning minskas, i synnerhet under monteringsskedet.

Ofta tillverkas snedsågade balkar med överhöjning. En sådan överhöjning bör vara ungefär lika stor som den största nedböjning som förorsakas av den permanenta lasten plus halva den dominerande variabla lasten (exempelvis snölasten).

För fritt upplagda symmetriska balkar med jämnt fördelad last blir böjhållfastheten vid nocken (alltså i mitten av spännvidden) aldrig dimensionerande. Det tvärsnitt där den största böjspänningen uppträder finner man i stället på ett avstånd x₀ från stödet. Tvärsnittets läge kan bestämmas analytiskt som det läge där den första derivatan av böjspänningen i förhållande till x är noll. Detta leder till följande resultat:

7.2    \({x_0} = \frac{{{h_0}}}{{2 \cdot {h_{\rm ap}}}} \cdot l\)

där h₀ är balkens höjd vid upplaget, h_ap är balkens höjd vid nocken och l är spännvidden. För vanlig balkgeometri uppträder de största böjspänningarna ungefär vid spännviddens fjärdedelspunkt (x₀ ≈ l ⁄ 4).

Om lutningen α ≤ 10° kan de dimensionerande böjspänningarna σ_m,α_,d och σ_m,0,d antas vara lika och de kan beräknas enligt den klassiska balkteorin. Observera att i figur 7.8 visas den verkliga spänningsfördelningen där σ_m,a,d ≠ σ_m,0,d. Detta enkla antagande ger:

7.3    \({\sigma _{\rm m,\alpha ,d}} = {\sigma _{\rm m,0,d}} = \frac{{{M_\rm d}}}{{{W_{{\rm x_\rm 0}}}}}\)

där:

Md	är det dimensionerande böjmomentet i tvärsnittet x = x0.
Wx0	är böjmotståndet i tvärsnittet x = x0.

 

Mycket ofta används kombinerat limträ i snedsågade balkar, till exempel limträ i hållfasthetsklass GL30c, vilket vanligtvis består av lameller i hållfasthetsklass T22 i tvärsnittets yttre delar och lameller i hållfasthetsklass T15 i tvärsnittets inre delar. För sådana sadelbalkar verkar den största tryckspänningen på avståndet x₀ från stödet, i allmänhet på ett sådant ställe där lamellerna tillhör den hållfasthetsklass som har lägre hållfasthet, alltså T15. Teoretiskt skulle detta betyda en reduktion av balkens hållfasthet jämfört med en likadan balk med homogent tvärsnitt gjord av lameller i hållfasthetsklass T22. Denna reduktion negligeras vanligtvis på grund av det faktum att brott nästan alltid sker vid den dragna kanten, där det finns starkare lameller, alltså i hållfasthetsklass T22.

Vid de yttersta fibrerna på den snedsågade kanten ska spänningarna uppfylla följande villkor:

7.4    \({\sigma _{\rm m,\alpha ,d}} \le {k_{\rm m,\alpha }} \cdot {f_{\rm m,d}}\)

där:

σm,α,d och σm,0,d	är de dimensionerande böjspänningarna i vinkel mot fiberriktningen och vid den raka kanten.
fm,d	är den dimensionerande böjhållfastheten.
km,α	är reduktionsfaktorn som beaktar samtidig verkan av böjspänning, skjuvspänning och tryckspänning eller dragspänning vid den snedsågade kanten.

 

Eurokod 5 ger följande ekvationer för beräkning av reduktionsfaktorn k_m,α

a) För dragspänningar parallellt med den snedsågade kanten:

7.5    \({k_{\rm m,\alpha }} = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{{f_{\rm m,d}}}}{{0,75{f_{\rm v,d}}}}\tan \alpha } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{f_{\rm m,d}}}}{{{f_{\rm t,90,d}}}}{{\tan }^2}\alpha } \right)}^2}} }}\)

b) För tryckspänningar parallellt med den snedsågade kanten:

7.6    \({k_{\rm m,\alpha }} = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{{f_{\rm m,d}}}}{{1,5{f_{\rm v,d}}}}\tan \alpha } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{f_{\rm m,d}}}}{{{f_{\rm c,90,d}}}}{{\tan }^2}\alpha } \right)}^2}} }}\)

där:

f_v,d, f_t,90,d och f_c,90,d är den dimensionerande skjuvhållfastheten, draghållfastheten vinkelrätt mot fiberriktningen och tryckhållfastheten vinkelrätt mot fiberriktningen enligt Eurokod 5.

Värdena för k_m,α för olika lutningar av den snedsågade kanten ges i figur 7.9. Värdena är beräknade för limträ i hållfasthetsklass GL30c.

Observera att den kontinuerliga kurvan också med tillfredställande noggrannhet kan användas vid dimensionering av balkar med krökt underkant, så kallad häng- eller fiskbuksformad balk. I sådana fall kan vinkeln α vid läget för maximal böjspänning beräknas enligt ekvation 7.7:

7.7    \(\alpha \approx \frac{l}{{4 \cdot R}} \cdot \frac{{180}}{\pi }\)

där l är balkens spännvidd och R är lamellernas krökningsradie (vanligtvis R > 100 m).

Den dimensionerande dragspänningen vinkelrätt mot fiberriktningen som förorsakas av böjmomentet kan beräknas vara:

7.8    \({\sigma _{\rm t,90,d}} = \left( {0,2 \cdot \tan \alpha } \right) \cdot \frac{{{M_{\rm ap,d}}}}{{{W_{\rm ap}}}}\)

där:

Map,d	är dimensionerande moment vid nocken.
Wap	är balkens böjmotstånd vid nocken.
(0,2 · tan α)	är en faktor som bestämts med hjälp av finita elementberäkningar och definieras som förhållandet mellan spänningen vinkelrätt mot fiberriktningen och böjspänningen i nockpartiet. Variationen av en sådan faktor, som betecknas med kp i Eurokod 5, i relation till lutningen α visas också i figur 7.12; för snedsågade balkar går krökningsradien → ∞, därför bör kp -värdena i figur 7.12 tas vid hap  ∕ r = 0.

 

Draghållfastheten vinkelrätt mot fiberriktningen ska sedan reduceras med hänseende till volymeffekten. Enligt Eurokod 5, ska följande villkor uppfyllas:

7.9    \({\sigma _{\rm t,90,d}} \le {k_{\rm dis}} \cdot {k_{\rm vol}} \cdot {f_{\rm t,90,d}} = {k_{\rm dis}} \cdot {\left( {\frac{{0,01}}{V}} \right)^{0,2}} \cdot {f_{\rm t,90,d}}\)

där f_t,90,d är den dimensionerande draghållfastheten vinkelrätt mot fiberriktningen och k_dis är en faktor som beaktar effekten av spänningsfördelningen i nockområdet. Värden på k_dis och V för balkar som belastas med en jämnt fördelad last ges i tabell 7.1.

I normala fall omfattar dimensioneringen av snedsågade balkar följande kontroll:

• Böjkapacitet vid avståndet x₀ från upplag.
• Skjuvkapacitet och kapacitet för tryck vinkelrätt mot fiberriktningen vid upplag.
• Tvärdragkapacitet vid nocken.
• Vippning som vanligtvis kontrolleras för en begränsad del av balken, till exempel mellan två sidostagningspunkter.

Figur 7.8 Sadelbalk med den verkliga, icke-linjära böjspänningsfördelningen och spänningen vinkelrätt mot fiberriktningen illustrerad vid x = x₀ och i mitten av spännvidden.

Produktion av limträ.

Figur 7.9 Värdena för k_m,α enligt Eurokod 5 för olika lutningar på den snedsågade kanten; Hållfasthetsklass GL30c, klimatklass 1 eller 2, lastens varaktighet: medellång.

Tabell 7.1  Värden för k_dis och V enligt Eurokod 5 för typiska balktyper.

Balktyp	kdis	V
Dubbelsidigt snedsågad balk (sadelbalk)	1,4	Volym av (1), se figur till vänster \( \sim b \cdot {\left( {{h_{\rm ap}}} \right)^2}\)
Krökt balk	1,4	Volym av den krökta delen (1)* \(\frac{{\beta \pi }}{{180}}b\left( {{h^2}_{\rm ap} + 2{h_{\rm ap}}{r_{\rm in}}} \right)\)
Bumerangbalk	1,7	Volym av den krökta delen (1)* \(b\left( {\sin \left( {{\alpha _{\rm ap}}} \right)\cos \left( {{\alpha _{\rm ap}}} \right){{\left( {{r_{\rm in}} + {h_{\rm ap}}} \right)}^2} - {r^2}_{\rm in}\frac{{{\alpha _{\rm ap}}\pi }}{{180}}} \right)\)

* Större volym för V än 2 ∕ 3 av balkens totala volym V_b behöver inte användas.
Vinklar α och β i grader. ”b” avser balkens bredd.